讲欧拉常数γ时，提到了欧拉方程：
e^(iπ) + 1 = 0
这个只有一行的等式，同时出现了e、i、π、1和0。
π来自圆和周期，e来自连续变化，i来自复数，0和1则分别是加法和乘法中的基本单位。它们的来源不同，却能够在指数函数中相遇。
欧拉公式给出了其中的原因：
e^(ix) = cos x + i sin x
当x = π时，cos π = −1，sin π = 0，于是：
e^(iπ) = −1
再加上1，就得到0。
如果把复指数理解成复平面上的旋转，这个等式也很好理解：e^(ix)沿着单位圆运动，x增加π，就完成半周旋转，从1到达−1。
指数函数、三角函数、复数和圆周运动，就这样进入了同一个数学框架。
欧拉恒等式之所以著名，也与这种联系有关。数学史上还有许多例子，只是它们通常没有这么简洁。
数学家拉马努金留下的大量笔记，就包含许多把π与无穷级数联系起来的公式。
其中最著名的一类，是用级数直接计算π。例如：
1/π = 2√2/9801 × Σₙ₌₀∞ [(4n)!(1103+26390n)] / [(n!)⁴396⁴ⁿ]
右边看起来完全不像一个圆周率公式。
没有圆，没有半径，也没有角度，只有阶乘、整数、幂和无限求和。
可是这串数字无限加下去，得到的恰好是1/π，而且收敛速度非常快。
这样的公式后来被放进椭圆函数、模函数等更大的理论中理解。π因此出现在了一个远离初等几何的数学世界里。
这类现象在数学中反复出现。
卡塔兰常数G就是另一个例子。
它由下面的级数定义：
G = 1 − 1/3² + 1/5² − 1/7² + ⋯
数值约为：
G = 0.9159655941772190……
关于G，人类至今仍然不知道它究竟是有理数还是无理数。
但我们仍然能够精确研究它和其他数学对象之间的关系。例如：
G = −∫（0 到 π/4）ln(tan x) dx
一个由交错级数定义的常数，在这里同时出现在π、三角函数和自然对数构成的积分中。
这看起来有些奇怪：连G是不是分数都不知道，为什么还能知道它在某个积分里恰好等于什么？
因为数学中的“知道”本来就有不同层次。
我们可以知道一个数的定义，却不知道它属于哪一种数；可以知道它的小数展开，却不知道它的算术性质；也可以证明它与另一个数学表达式相等，却仍然无法解决关于它的其他问题。
所以，一个常数的某些性质尚未解决，并不意味着关于它的一切都处于未知状态。
费根鲍姆常数把这种现象带到了动力系统。
考虑一个非常简单的递推：
xₙ₊₁ = r xₙ(1 − xₙ)
随着参数r变化，这个系统会经历一系列倍周期分岔：
1变成2，2变成4，4变成8……
最终进入混沌。
费根鲍姆研究这一过程时发现，相邻分岔点之间的间隔比会趋近一个固定值：
δ ≈ 4.6692016091029906……
还有一个描述系统尺度变化的常数：
α ≈ 2.5029078750958928……
这里最值得注意的是，这些数字并不只出现在这个具体模型里。
许多不同的动力系统，只要通过类似的倍周期路径进入混沌，就会出现相同的极限比例。
一个研究种群变化的模型，一个研究物理过程的模型，甚至一个纯粹的数学递推，它们的具体方程可以不同，但在这种临界过程中却可能趋向同一个常数。这就是费根鲍姆常数所谓的“普适性”。
它描述的已经不是某个具体系统的数值，而是一类系统在特定变化过程中表现出来的共同规律。
也正因为如此，数学家需要特别谨慎地区分两种情况。
一种关系可以从定义出发，通过定理和推导一步步得到。欧拉恒等式如此，拉马努金的π级数如此，卡塔兰常数的积分表示也是如此。
另一种情况只是两个数字在小数展开中碰巧接近。后者当然可能值得研究，但在没有理论推导之前，它只能算作一个数值现象，不能据此宣布两个领域之间存在深层联系。
这也是数学中一个很重要的区别。
漂亮的数字相遇，并不等于数学关系；能够解释它们为什么相遇，才构成数学上的发现。
π和e能够同时出现在复分析中，是因为指数函数、三角函数和复数之间存在可以证明的结构关系。
拉马努金的级数能够产生π，是因为它背后有更深的函数理论支撑。
卡塔兰常数能够进入含π和自然对数的积分，也是因为级数与积分之间存在严格的转换。
费根鲍姆常数在不同动力系统中反复出现，则来自临界行为的普适性。
这些例子已经足够说明一件具体的事情：
数学常数并不是彼此孤立的数字。一个常数从某个问题中产生之后，可能在另一个完全不同的问题中再次出现，而连接它们的往往是一层更深的数学结构。
这也是为什么数学家会不断寻找恒等式、积分表示、级数变换、特殊函数和普适常数。他们寻找的不是数字之间表面的相似，而是数字背后的必然联系。
